Transformasi Linear
Nama : Angel Natassya Lumbantobing
Nim : 202231004
TRANSFORMASI LINEAR
Transformasi linear yang dimaksud adalah perpindahan dari satu ruang yang biasa dinamakan dengan domain ke ruang lain yang dinamakan kodomain.
Adapun aturan transformasi linear adalah :
Contoh-contoh Transformasi Linear :
a. Pemetaan Nol
Pemetaan nol adalah fungsi yang memetakan setiap vektor di 𝑉 ke vektor nol.
Misalkan 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 dengan 𝑇(𝑥) = 0 adalah pemetaan yang
menghubungkan vektor nol 0 ∈ 𝑊 ke setiap 𝑣 ∈ 𝑉. Untuk sebarang
vektor 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 maka:
1. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 0
𝑇(𝑢 + 𝑣) = (0 + 0)
𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣)
2. 𝑇(𝑘𝑢) = 0
𝑇(𝑘𝑢) = 𝑘. 0
𝑇(𝑘𝑢) = 𝑘𝑇(𝑢)
Jadi, 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 dengan 𝑇(𝑥) = 0 adalah transformasi linear.
b. Pemetaan Identitas
Pemetaan identitas adalah fungsi yang memetakan 𝑣 ke dirinya
sendiri. Pemetaan 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑉 yang didefinisikan oleh 𝑇(𝑣) = 𝑉 biasanya
dinotasikan oleh 𝐼.
Perhatikan pemetaan identitas 𝐼 ∶ 𝑉 → 𝑉 dengan 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥, 𝑦
yang memetakan tiap 𝑣 ∈ 𝑉 ke dirinya sendiri. Maka untuk sebarang 𝑢,
𝑣 ∈ 𝑉 vektor mempunyai:
1. 𝐼(𝑢 + 𝑣) = 𝑢 + 𝑣
𝐼(𝑢 + 𝑣) = 𝐼(𝑢) + 𝐼(𝑣)
2. Ambil 𝑢 ∈ 𝑉 dan 𝑘 skalar, maka:
𝐼(𝑘𝑢) = 𝑘𝑢
𝐼(𝑘𝑢) = 𝑘𝐼(𝑢)
Jadi, 𝐼 ∶ 𝑉 → 𝑉 dengan 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥, 𝑦 adalah transformasi linear.
c. Pemetaan dari 𝑹² ke 𝑹
Apakah fungsi 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2 + 3𝑥 − 𝑦 merupakan transformasi linear?
Penyelesaian. 𝑇: 𝑅² → 𝑅
(𝑥, 𝑦) → (2 + 3𝑥 − 𝑦)
Misalkan 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) dan 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2)
1. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = ((𝑥1, 𝑦1
) + (𝑥2, 𝑦2))
= 𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
= (2 + 3(𝑥1 + 𝑥2) − (𝑦1 + 𝑦2))
= (2 + 3𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2)
= 2 + 3𝑥1 − 𝑦1 + 3𝑥2 − 𝑦2
= 𝑇(2 + 3𝑥1 − 𝑦1) + 𝑇(3𝑥2 − 𝑦2)
= 𝑇(𝑢) + 𝑇(3𝑥2 − 𝑦2)
𝑇(3𝑥2 − 𝑦2) ≠ 𝑇(𝑣)
2. 𝑇(𝑘𝑢) = 𝑇(2𝑘 + 3𝑘𝑥1 − 𝑘𝑦1)
= 𝑘𝑇(2 + 3𝑥1 − 𝑦1)
= 𝑘𝑇(𝑢)
Karena pada kondisi pertama tidak memenuhi, maka 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2 + 3𝑥 −
𝑦 bukan merupakan transformasi linear.
Karena pada kondisi pertama tidak memenuhi, maka 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2 + 3𝑥 −
𝑦 bukan merupakan transformasi linear.
Contoh penyangkal untuk kondisi kedua, dimisalkan
𝑢 = (2, 3), 𝑘 = 5 maka, 𝑇(𝑘𝑢) = 𝑇((𝑘)2, (𝑘)3)
𝑇(𝑘𝑢) = 𝑇((5)2, (5)3)
𝑇(𝑘𝑢) = 𝑇(10, 15)
𝑇(𝑘𝑢) = 2 + 3.10 − 15
𝑇(𝑘𝑢) = 17
Sedangkan untuk 𝑘𝑇(𝑢) = 5𝑇(𝑢)
𝑘𝑇(𝑢) = 5𝑇(2, 3)
𝑘𝑇(𝑢) = 5(2 + 3.2 − 3)
𝑘𝑇(𝑢) = 5(5)
𝑘𝑇(𝑢) = 25
Jadi, 𝑇(𝑘𝑢) ≠ 𝑘𝑇(𝑢)
17 ≠ 25
Sehingga, fungsi 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2 + 3𝑥 − 𝑦 bukan transformasi linear
d. Pemetaan dari 𝑹² ke 𝑹²
Misalkan 𝑇: 𝑅
2 → 𝑅²
adalah fungsi yang didefinisikan oleh
𝑇(𝑣) = (2𝑥, 𝑦) dengan 𝑣 = (𝑥, 𝑦) di 𝑅².
Apakah 𝑇 merupakan transformasi linear!
Penyelesaian.
Misalkan 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) dan 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2)
1. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = ((𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2))
𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
𝑇(𝑢 + 𝑣) = (2(𝑥1 + 𝑥2), (𝑦1 + 𝑦2))
𝑇(𝑢 + 𝑣) = (2𝑥1 + 2𝑥2), (𝑦1 + 𝑦2)
𝑇(𝑢 + 𝑣) = (2𝑥1 + 2𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
𝑇(𝑢 + 𝑣) = ((2𝑥1, 𝑦1) + (2𝑥2, 𝑦2))
𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣)
2. 𝑇(𝑘𝑢) = 𝑇(𝑘𝑥1, 𝑘𝑦1)
𝑇(𝑘𝑢) = (𝑘2𝑥1, 𝑘𝑦1)
𝑇(𝑘𝑢) = 𝑘(2𝑥1, 𝑦1)
𝑇(𝑘𝑢) = 𝑘𝑇(𝑢)
Jadi 𝑇: 𝑅² → 𝑅² dengan 𝑇(𝑣) = (2𝑥, 𝑦) adalah transformasi linear.
e. Pemetaan dari 𝑹² ke 𝑹³
f. Pemetaan Konstan
Pemetaan konstan adalah suatu fungsi yang menghasilkan suatu konstanta (tetapan). Pemetaan 𝑇: 𝑉 → 𝑊 yang didefinisikan oleh 𝑇(𝑢) = 𝑐. Dengan 𝑢 ∈ 𝑉 dan 𝑐 adalah suatu konstanta. Karena suatu konstanta tidak bisa menjadi suatu vektor, maka pemetaan konstan bukan
merupakan suatu transformasi linear.
Misalkan 𝑇: 𝑅² → 𝐶 adalah fungsi yang didefinisikan oleh :
𝑇(𝑣) = (𝑥, 𝑦) dengan 𝑣 = (𝑥, 𝑦) di 𝑅² dan 𝐶 ∈ 𝑅. Tunjukkan apakah 𝑇 merupakan suatu transformasi linear.
Misalkan 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) dan 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2)
𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇((𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2)
= 𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
= ((𝑥1 + 𝑥2), (𝑦1 + 𝑦2))
= ((𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2 + 𝑦2))
= 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣)
≠ 𝑐
Karena kondisi pertama tidak memenuhi, maka 𝑇: 𝑅² → 𝐶 bukan
merupakan suatu transformasi linear.
Berdasarkan beberapa contoh pemetaan, dapat disimpulkan bahwa
suatu fungsi dikatakan transformasi linear, jika 2 kondisi atau syarat yang
berdasarkan definisi-1 terpenuhi.
Terimakasih!
