Transformasi Linear

Nama : Angel Natassya Lumbantobing

Nim : 202231004

               TRANSFORMASI LINEAR

Transformasi linear yang dimaksud adalah perpindahan dari satu ruang yang biasa dinamakan dengan domain ke ruang lain yang dinamakan kodomain.

Adapun aturan transformasi linear adalah :

Contoh-contoh Transformasi Linear :

a. Pemetaan Nol

Pemetaan nol adalah fungsi yang memetakan setiap vektor di 𝑉 ke vektor nol.

Misalkan 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 dengan 𝑇(𝑥) = 0 adalah pemetaan yang

menghubungkan vektor nol 0 ∈ 𝑊 ke setiap 𝑣 ∈ 𝑉. Untuk sebarang

vektor 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 maka:

1. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 0

𝑇(𝑢 + 𝑣) = (0 + 0)

𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣)

2. 𝑇(𝑘𝑢) = 0

𝑇(𝑘𝑢) = 𝑘. 0

𝑇(𝑘𝑢) = 𝑘𝑇(𝑢)

Jadi, 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 dengan 𝑇(𝑥) = 0 adalah transformasi linear.

b. Pemetaan Identitas

Pemetaan identitas adalah fungsi yang memetakan 𝑣 ke dirinya

sendiri. Pemetaan 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑉 yang didefinisikan oleh 𝑇(𝑣) = 𝑉 biasanya

dinotasikan oleh 𝐼.

Perhatikan pemetaan identitas 𝐼 ∶ 𝑉 → 𝑉 dengan 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥, 𝑦

yang memetakan tiap 𝑣 ∈ 𝑉 ke dirinya sendiri. Maka untuk sebarang 𝑢,

𝑣 ∈ 𝑉 vektor mempunyai:

1. 𝐼(𝑢 + 𝑣) = 𝑢 + 𝑣

𝐼(𝑢 + 𝑣) = 𝐼(𝑢) + 𝐼(𝑣)

2. Ambil 𝑢 ∈ 𝑉 dan 𝑘 skalar, maka:

𝐼(𝑘𝑢) = 𝑘𝑢

𝐼(𝑘𝑢) = 𝑘𝐼(𝑢)

Jadi, 𝐼 ∶ 𝑉 → 𝑉 dengan 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥, 𝑦 adalah transformasi linear.

c. Pemetaan dari 𝑹² ke 𝑹

Apakah fungsi 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2 + 3𝑥 − 𝑦 merupakan transformasi linear?

Penyelesaian. 𝑇: 𝑅² → 𝑅

(𝑥, 𝑦) → (2 + 3𝑥 − 𝑦)

Misalkan 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) dan 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2)

1. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = ((𝑥1, 𝑦1

) + (𝑥2, 𝑦2))

= 𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)

= (2 + 3(𝑥1 + 𝑥2) − (𝑦1 + 𝑦2))

= (2 + 3𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2)

= 2 + 3𝑥1 − 𝑦1 + 3𝑥2 − 𝑦2

= 𝑇(2 + 3𝑥1 − 𝑦1) + 𝑇(3𝑥2 − 𝑦2)

= 𝑇(𝑢) + 𝑇(3𝑥2 − 𝑦2)

𝑇(3𝑥2 − 𝑦2) ≠ 𝑇(𝑣)

2. 𝑇(𝑘𝑢) = 𝑇(2𝑘 + 3𝑘𝑥1 − 𝑘𝑦1)

= 𝑘𝑇(2 + 3𝑥1 − 𝑦1)

= 𝑘𝑇(𝑢)

Karena pada kondisi pertama tidak memenuhi, maka 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2 + 3𝑥 −

𝑦 bukan merupakan transformasi linear.

Karena pada kondisi pertama tidak memenuhi, maka 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2 + 3𝑥 −

𝑦 bukan merupakan transformasi linear.

Contoh penyangkal untuk kondisi kedua, dimisalkan

𝑢 = (2, 3), 𝑘 = 5 maka, 𝑇(𝑘𝑢) = 𝑇((𝑘)2, (𝑘)3)

𝑇(𝑘𝑢) = 𝑇((5)2, (5)3)

𝑇(𝑘𝑢) = 𝑇(10, 15) 

𝑇(𝑘𝑢) = 2 + 3.10 − 15

𝑇(𝑘𝑢) = 17

Sedangkan untuk 𝑘𝑇(𝑢) = 5𝑇(𝑢)

𝑘𝑇(𝑢) = 5𝑇(2, 3)

𝑘𝑇(𝑢) = 5(2 + 3.2 − 3)

𝑘𝑇(𝑢) = 5(5)

𝑘𝑇(𝑢) = 25

Jadi, 𝑇(𝑘𝑢) ≠ 𝑘𝑇(𝑢)

17 ≠ 25

Sehingga, fungsi 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2 + 3𝑥 − 𝑦 bukan transformasi linear

d. Pemetaan dari 𝑹² ke 𝑹²

Misalkan 𝑇: 𝑅

2 → 𝑅²

adalah fungsi yang didefinisikan oleh

𝑇(𝑣) = (2𝑥, 𝑦) dengan 𝑣 = (𝑥, 𝑦) di 𝑅².

Apakah 𝑇 merupakan transformasi linear!

Penyelesaian.

Misalkan 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) dan 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2)

1. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = ((𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2))

𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)

𝑇(𝑢 + 𝑣) = (2(𝑥1 + 𝑥2), (𝑦1 + 𝑦2))

𝑇(𝑢 + 𝑣) = (2𝑥1 + 2𝑥2), (𝑦1 + 𝑦2)

𝑇(𝑢 + 𝑣) = (2𝑥1 + 2𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)

𝑇(𝑢 + 𝑣) = ((2𝑥1, 𝑦1) + (2𝑥2, 𝑦2))

𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣)

2. 𝑇(𝑘𝑢) = 𝑇(𝑘𝑥1, 𝑘𝑦1)

𝑇(𝑘𝑢) = (𝑘2𝑥1, 𝑘𝑦1)

𝑇(𝑘𝑢) = 𝑘(2𝑥1, 𝑦1)

𝑇(𝑘𝑢) = 𝑘𝑇(𝑢)

Jadi 𝑇: 𝑅² → 𝑅² dengan 𝑇(𝑣) = (2𝑥, 𝑦) adalah transformasi linear.

e. Pemetaan dari 𝑹² ke 𝑹³

f. Pemetaan Konstan

Pemetaan konstan adalah suatu fungsi yang menghasilkan suatu konstanta (tetapan). Pemetaan 𝑇: 𝑉 → 𝑊 yang didefinisikan oleh 𝑇(𝑢) = 𝑐. Dengan 𝑢 ∈ 𝑉 dan 𝑐 adalah suatu konstanta. Karena suatu konstanta tidak bisa menjadi suatu vektor, maka pemetaan konstan bukan

merupakan suatu transformasi linear.

Misalkan 𝑇: 𝑅² → 𝐶 adalah fungsi yang didefinisikan oleh :

𝑇(𝑣) = (𝑥, 𝑦) dengan 𝑣 = (𝑥, 𝑦) di 𝑅² dan 𝐶 ∈ 𝑅. Tunjukkan apakah 𝑇 merupakan suatu transformasi linear.

Misalkan 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) dan 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2)

𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇((𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2)

= 𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)

= ((𝑥1 + 𝑥2), (𝑦1 + 𝑦2))

= ((𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2 + 𝑦2))

= 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣)

≠ 𝑐

Karena kondisi pertama tidak memenuhi, maka 𝑇: 𝑅² → 𝐶 bukan

merupakan suatu transformasi linear.

Berdasarkan beberapa contoh pemetaan, dapat disimpulkan bahwa

suatu fungsi dikatakan transformasi linear, jika 2 kondisi atau syarat yang

berdasarkan definisi-1 terpenuhi.

Terimakasih!