Basis dan Dimensi
Nama : Angel Natassya Lumbantobing
NIM : 202231004
BASIS DAN DIMENSI
Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :
Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :
i. S bebas linier; ii. S serentang V.
Contoh :
Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.
Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
b = k1v1 + k2v2 + k3v3
dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan
( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 ) atau ( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )
Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis dari ruang vektor tersebut.Setiap himpunan nvektor-vektor yang bebas linier {u1,u2, ..., un} dari ruang vektorberdimensi n, disebut basis dari ruang vektor
Contoh :
Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh :
(i) a= [1, 1, 2], b= [1, 2, 5], dan c= [5, 3, 4]
Penyelesaian :
Akan diperiksa apakah {a,b,c} bebas linier.
λ1a+λ2b+λ3c=0λ1[1, 1, 2] + λ2[1, 2, 5] + λ3[5, 3, 4] = [0, 0, 0]
diperoleh λ1+λ2+ 5λ3= 0λ1+ 2λ2+ 3λ3= 02λ1+ 5λ2+ 4λ3= 0
Dengan menggunakan eliminasi diperoleh λ1= -7λ3,λ2= 2λ3. Misalkan λ3= 1, makaλ1= -7, λ2= 2.
Jadi, {a,b,c} bergantung linier.
Selanjutnya, akan dicari banyak maksimum di antara {a,b,c} yang bebas linier.
Vektor {a,b} atau {b,c} atau {a,c} bebas linier sehingga dimensinya adalah 2.
Basisnya dapat dipilih di antara {a,b} atau {b,c} atau {a,c}.
(ii) p = [1, 2, 2], q= [2, 4, 4], dan r= [1, 0, 1]
Penyelesaian :
Karena q= 2p, maka {p,q,r} bergantung linier.
Vektor {p,r} atau {q,r} bebas linier sehingga dimensinya adalah 2.
Basisnya dapat dipilih di antara {p,r} atau {q,r}.
Terimakasih..
